Taruhan Api

Pengantar

Taruhan Api adalah taruhan sampingan populer dalam dadu (craps) yang membayar berdasarkan jumlah poin unik yang ditetapkan dan dimenangkan oleh penembak. Saya mengetahui tiga tabel pembayaran berikut. Tepi rumah (house edge) dari masing-masing tertera di baris terbawah tabel. Pembayaran dinyatakan secara "to one". Angka -1 menunjukkan kerugian.

Tabel Pembayaran Taruhan Api

Tabel Pembayaran A

Berikut adalah analisis saya untuk Tabel Pembayaran A. Sel kanan bawah menunjukkan tepi rumah sebesar 20,76%.

Tabel Pembayaran B

Berikut adalah analisis saya untuk Tabel Pembayaran B. Sel kanan bawah menunjukkan tepi rumah sebesar 24,86%.

Tabel Pembayaran C

Berikut adalah analisis saya untuk Tabel Pembayaran C. Sel kanan bawah menunjukkan tepi rumah sebesar 20,73%.

Probabilitas Taruhan Api

Saya sering ditanya bagaimana menghitung probabilitas di atas. Ini adalah soal matematika yang menantang. Di bawah ini, saya mencantumkan tiga cara untuk menyelesaikan peluang membuat sejumlah poin dari 0 hingga 6.

Simulasi Acak

Simulasi acak adalah cara termudah untuk menganalisis Taruhan Api. Dengan kecepatan komputer modern, metode ini juga sangat akurat. Hanya para puritan matematika (seperti saya) yang akan berusaha mencari solusi pasti. Tabel berikut menunjukkan hasil simulasi hampir 40 miliar taruhan api yang diselesaikan berdasarkan tabel pembayaran A. Sel kanan bawah menunjukkan tepi rumah sebesar 20,7531%. Tepi rumah sebenarnya adalah 20,7628%, sehingga simulasi akurat hingga 0,01% dari pengembalian.

Rantai Markov

Salah satu cara untuk menghitung peluang Taruhan Api secara tepat adalah dengan Rantai Markov. Ini berarti menghitung probabilitas menyelesaikan sejumlah poin di masa depan dari setiap 64 kemungkinan status poin yang sudah dibuat. Matematikanya cukup mudah di akhir, hanya perlu satu poin lagi untuk menyelesaikan keenamnya. Kemudian kita bekerja mundur ke status awal lemparan pertama.

Status pertama ini direpresentasikan sebagai baris pertama dalam tabel, tidak termasuk judul kolom. Ini menunjukkan probabilitas yang ditunjukkan di atas untuk menyelesaikan sejumlah poin dari 0 hingga 6.

Jika Anda berencana untuk mencoba mereproduksi pekerjaan saya, berikut adalah beberapa saran untuk beralih dari satu status ke status lainnya. Mulailah dengan status yang mendekati akhir, di mana penembak telah membuat 5 poin. Misalnya, jika penembak hanya membutuhkan 4, maka tiga hal dapat terjadi: (1) Dia menetapkan dan membuat 4, (2) Dia menetapkan dan membuat poin yang sudah dibuat, (3) Dia seven-out. Probabilitas (1) adalah (3/24)*(1/3) = 1/24 = 0.041667. Probabilitas (2) adalah (4/24)*(2/5) + (5/24)*(5/11) + (5/24)*(5/11) + (4/24)*(2/5) + (3/24)*(1/3) = 0.364394. Probabilitas (3) adalah 1 - 0.041667 - 0.364394 = 0.593939. Pada akhirnya, kejadian (1) atau (3) akan terjadi. Probabilitas bahwa (1) akan terjadi sebelum (3) adalah 0.041667/(0.041667+0.593939) = 0.065554. Bekerjalah secara rekursif kembali ke titik awal. Ini akan memakan waktu, berulang, dan membosankan, atau Anda dapat melakukannya di spreadsheet secara otomatis.

Kalkulus

Langkah pertama dalam metode ini adalah menghitung probabilitas dari 7 kemungkinan hasil yang relevan dari taruhan garis lulus (pass line) setelah poin ditetapkan. Kita dapat mengabaikan 12 kombinasi, atau peluang 1/3, pemain menang atau kalah segera pada lemparan come out, karena kejadian tersebut tidak signifikan untuk Taruhan Api. Jadi lemparan pertama didasarkan pada 24 kemungkinan kombinasi, bukan 36.

• Poin 4 dibuat dan menang = (3/24) × (3/9) = 1/24 = kira-kira 4,17%
• Poin 5 dibuat dan menang = (4/24) × (4/10) = 1/15 = kira-kira 6,67%
• Poin 6 dibuat dan menang = (5/24) × (5/11) = 25/264 = kira-kira 9,47%
• Poin 8 dibuat dan menang = (5/24) × (5/11) = 25/264 = kira-kira 9,47%
• Poin 9 dibuat dan menang = (4/24) × (4/10) = 1/15 = kira-kira 6,67%
• Poin 10 dibuat dan menang = (3/24) × (3/9) = 1/24 = kira-kira 4,17%
• Poin dibuat dan seven-out = 2×((3/24) × (6/9))+ 2× ((4/24) × (6/10)) + 2×((5/24) × (6/11)) = 98/165 = kira-kira 59,39%

Harap diperhatikan, jumlah probabilitas ini sama dengan 1.

Selanjutnya, alih-alih Taruhan Api diputuskan oleh lemparan dua dadu satu per satu, pertimbangkan waktu antara kejadian terjadi secara acak, dengan waktu antara kejadian mengikuti distribusi eksponensial dengan rata-rata satu unit waktu antar kejadian. Jika suatu kejadian terjadi, kejadian tertentu akan mengikuti probabilitas dadu yang baru saja kita hitung.

Sebagai contoh, probabilitas kemenangan poin-4 adalah 1/24. Dengan demikian, waktu antar kemenangan poin-4 rata-rata 24 unit. Probabilitas melewati x unit waktu tanpa kemenangan poin-10 adalah exp(-x/24). Untuk mengambil komplemennya, probabilitas setidaknya satu kemenangan poin-10 dalam x unit waktu adalah 1-exp(-x/24).

Untuk memutuskan Taruhan Api, tidak peduli berapa banyak waktu yang berlalu antar kejadian - hanya kejadian apa yang terjadi. Jadi kita dapat mengintegrasikan seluruh waktu untuk pemenang taruhan sebagai berikut:

(1-exp(-x/24))^2*(1-exp(-x/15))^2*(1-exp(-25x/264))^2*exp(-98x/165)/(165/98)

Biarkan saya menjelaskan apa arti integral tersebut. Itu adalah probabilitas bahwa setelah x unit waktu telah terjadi setidaknya satu kemenangan dari setiap poin tetapi tidak ada 7. Karena probabilitas kemenangan poin-4 dan poin-10 sama, kita dapat mengkuadratkan probabilitas kemenangan poin-4. Sama untuk 5 dan 9, serta 6 dan 8. Terakhir kita kalikan semuanya dengan 98/165, probabilitas seven-out, untuk menutup taruhan. Jika tidak, pemain mungkin dibayar untuk beberapa kemenangan yang tumpang tindih.

Mengintegrasikan ini dengan tangan akan sangat membosankan dan rawan kesalahan. Untungnya, ada kalkulator integral. Untuk menggunakan yang satu untuk masalah ini, klik tautan dan masukkan berikut ke dalam kotak teks di bagian atas: (1-exp(-x/24))^2*(1-exp(-x/15))^2*(1-exp(-25x/264))^2*exp(-98x/165)/(165/98). Kemudian klik opsi dan atur batas bawah ke 0 dan batas atas ke tak terhingga. Kemudian klik go.

Sebelum mempertimbangkan batas integrasi, jawabannya adalah (98*(-(165*e^(-(98*x)/165))/98+(2640*e^(-(839*x)/1320))/839+(330*e^(-(109*x)/165))/109-(220*e^(-(149*x)/220))/149+(880*e^(-(303*x)/440))/303-(1760*e^(-(309*x)/440))/309-(11*e^(-(8*x)/11))/8-(1320*e^(-(241*x)/330))/241+(1320*e^(-(491*x)/660))/491-(5280*e^(-(997*x)/1320))/997+(528*e^(-(203*x)/264))/203+(2640*e^(-(1019*x)/1320))/1019-(60*e^(-(47*x)/60))/47+(2640*e^(-(263*x)/330))/263-(132*e^(-(107*x)/132))/107+(528*e^(-(217*x)/264))/217+(80*e^(-(33*x)/40))/33-(1760*e^(-(369*x)/440))/369+(40*e^(-(17*x)/20))/17-(88*e^(-(19*x)/22))/19-(15*e^(-(13*x)/15))/13-(480*e^(-(107*x)/120))/107+(528*e^(-(239*x)/264))/239-(12*e^(-(11*x)/12))/11+(15*e^(-(14*x)/15))/7+(48*e^(-(23*x)/24))/23-e^(-x))/165.

Untungnya, kalkulator tersebut memungkinkan batas integrasi dan memberikan solusi sebagai 3700403899126040038831518494284887738125 / 22780863797678919004236184338193605974839452, yang kira-kira sama dengan 0,0001624347492698264.

Tentu saja, itu hanya probabilitas membuat keenam poin, tetapi logika yang sama dapat digunakan untuk menemukan probabilitas sejumlah poin. Saya akan meninggalkan itu sebagai latihan untuk pembaca ;-).