Pemodelan Harga Pasar Taruhan Sepak Bola Langsung

Abstrak

Odds dalam taruhan olahraga dapat dilihat sebagai harga pada kontrak keuangan. Tesis master ini adalah studi tentang odds langsung dalam pertandingan sepak bola. Pergerakan dan transaksi dalam odds langsung dari 1114 pertandingan diselidiki menggunakan set data frekuensi tinggi. Harga tersebut kemudian dimodelkan menggunakan distribusi Poisson, dan digunakan untuk membuat strategi perdagangan.

Ucapan Terima Kasih

Pada musim panas 2012, saya menemukan beberapa lembar excel dengan odds sepak bola historis di internet yang saya unduh dan mainkan dengan Matlab. Bagi seorang penggemar olahraga yang akan menulis tesis master dalam statistika matematika, hal itu membuka pintu ke dunia fantastis olahraga dan matematika. Terima kasih banyak kepada supervisor saya atas bimbingannya, dan kepada teman saya atas tinjauannya yang tak kenal lelah. Terakhir, terima kasih kepada orang tersayang.

1 Pendahuluan

Pasar perjudian global adalah bisnis yang sangat besar dan pada tahun 2009 saja, perjudian internet menghasilkan pendapatan kotor permainan sebesar 21,7 miliar dolar di seluruh dunia. Salah satu bentuk perjudian yang paling populer adalah taruhan olahraga. Bertaruh pada suatu hasil dapat menambah kegembiraan saat menonton pertandingan, atau bahkan menjadi cara untuk menghasilkan uang. Yang paling umum adalah bertaruh pada 1, X, atau 2 yang mewakili kemenangan tim tuan rumah, hasil seri, dan kemenangan tim tamu. Saat ini juga dimungkinkan untuk bertaruh pada detail pertandingan seperti jumlah tendangan sudut dalam suatu pertandingan. Taruhan langsung adalah taruhan pada suatu hasil ketika pertandingan sudah dimulai. Ini membutuhkan komunikasi cepat antara bandar dan petaruh karena odds perlu diperbarui secara terus-menerus. Kondisi pertandingan dapat berubah secara dramatis hanya dalam beberapa detik dengan gol atau kartu merah, dan jenis informasi itu tentu saja harus tersedia baik bagi penyedia maupun yang bertaruh pada suatu odds. Odds juga tergantung pada waktu tersisa dalam pertandingan, karena kemungkinan hasil yang berbeda meningkat atau menurun menjelang akhir. Dalam pertandingan tanpa gol, kemungkinan hasil 0-0, yaitu seri, meningkat seiring waktu tersisa, yang tentu saja harus dikompensasi oleh odds. Pergerakan odds dan transaksi dari taruhan langsung ini membentuk bank data besar yang menarik tidak hanya bagi penggemar olahraga tetapi juga bagi analis keuangan. Masuknya pasar taruhan membuat odds langsung semakin kompleks dan menarik, bahwa odds di sini diputuskan oleh petaruh dan tidak diperbarui oleh bandar. Makalah ini adalah studi tentang set data frekuensi tinggi dengan odds taruhan langsung dari 1114 pertandingan sepak bola. Pasar taruhan adalah fenomena baru dan oleh karena itu akan dijelaskan. Konsep dasar dalam pasar keuangan seperti spread dan hubungan arbitrase kemudian akan dipelajari di pasar taruhan. Bagaimana orang bertaruh sebelum pertandingan dan kapan mereka bertaruh selama pertandingan? Setelah investigasi ini, cara yang adil untuk menentukan odds langsung untuk 1, X, dan 2 diusulkan. Odds yang adil ini akan dibandingkan dengan odds aktual dari set data. Dapatkah model deterministik benar-benar menentukan harga dengan cara yang wajar? Akhirnya, dengan menggunakan bahwa model tersebut diharapkan memberikan harga yang lebih adil, yaitu memprediksi lebih baik daripada petaruh, strategi taruhan yang menguntungkan akan dibuat. Ringkasnya, odds langsung dari 1114 pertandingan sepak bola dalam makalah ini dianalisis dan diperlakukan seperti pasar keuangan lainnya.

1.1 Literatur

Odds dalam pertandingan sepak bola adalah subjek yang terkenal dan dipelajari secara menyeluruh. Ada segalanya mulai dari statistik pertandingan biasa hingga model prediksi lanjutan yang dibuat sebagai tesis master teknik menggunakan kuantifikasi data kualitatif, lihat misalnya [5] dan [6]. Namun pasar taruhan langsung cukup baru, dan oleh karena itu tidak banyak literatur tentang subjek tersebut. Karena ada sedikit atau tidak ada makalah akademis tentang pemodelan harga langsung di pasar taruhan, tidak banyak referensi untuk pekerjaan serupa dalam makalah ini.

1.2 Pasar taruhan

Odds menentukan berapa banyak yang berpotensi Anda dapatkan kembali untuk setiap unit yang dipertaruhkan. Ada beberapa cara untuk menyatakan odds ini:

Tabel di atas menunjukkan notasi yang berbeda untuk odds yang memberikan pendapatan bersih 50 persen, yaitu ketika bertaruh 10 unit Anda mendapatkan 15 kembali. Odds untuk kemenangan tim tuan rumah dalam suatu pertandingan dapat dilihat sebagai harga derivatif, dimana yang mendasarinya adalah skor akhir. Perhatikan bahwa tidak mungkin untuk membeli atau menjual yang mendasarinya, berbeda dengan derivatif di pasar saham. Odds 1,2 sesuai dengan harga (1/1,2) = 0,83 untuk memenangkan 1 unit, jadi odds rendah berarti harga tinggi. Jika pertandingan adil, harga untuk hasil 1, X, 2 sesuai dengan probabilitasnya, dan jumlahnya menjadi satu.

P(1) + P(X) + P(2) = 1, Harga(1) + Harga(2) + Harga(X) = 1

Situs internet pertama dengan odds online mulai beroperasi pada tahun 1986, dan odds langsung pada olahraga muncul pada tahun 1994. Odds diperbarui secara manual berbeda dengan hari ini di mana odds berubah dengan cepat dalam hitungan detik. Jika odds tidak terus diperbarui, akan mungkin untuk memanfaatkan bahwa beberapa skenario dan hasil akan lebih atau kurang mungkin dengan waktu tersisa dalam pertandingan. Perusahaan bandar biasa menyediakan harga yang rata-rata sedikit terlalu tinggi, yaitu

Harga(1) + Harga(X) + Harga(2) > 1

Harga dapat disesuaikan, tergantung pada bagaimana orang bermain, untuk membatasi potensi kerugian dalam satu pertandingan. Mereka mungkin masih kehilangan uang pada satu pertandingan tetapi biasanya akan mendapat untung dari pelanggan mereka dalam jangka panjang. Ada beberapa pasar taruhan internet, dan semakin banyak orang meninggalkan bandar tradisional untuk harga yang lebih baik. Pada tahun 1999 didirikan Betfair, dan pada tahun 2001 pasar taruhan Betfair diluncurkan dan merupakan yang terbesar saat ini, hadir di lebih dari 100 negara dan lebih dari 950000 pelanggan. Jadi apa perbedaan ketika bertaruh di pasar dibandingkan menggunakan bandar? Pertama, ini masalah siapa yang Anda lawan. Saat memasang taruhan di situs web bandar, bandar adalah lawan Anda, menang jika Anda kalah dan sebaliknya. Di pasar taruhan, Anda membeli dan menjual kontrak di pasar yang terbuka untuk individu. Pasar taruhan bekerja hampir persis seperti pasar lainnya dengan derivatif keuangan. Yang mendasarinya ketika Anda membeli atau menjual probabilitas dalam pertandingan sepak bola adalah hasil pertandingan. Taruhan dapat dilihat sebagai derivatif keuangan dengan jatuh tempo tetap, yaitu saat pertandingan berakhir. Pasar taruhan langsung Betfair adalah pasar limit order. Limit order adalah perintah untuk membeli atau menjual kontrak pada harga tertentu atau lebih baik. Itu hanya dieksekusi jika pasar mencapai harga limit, yaitu jika seseorang memilih untuk membeli kontrak yang ditawarkan. Bayangkan pertandingan antara Liverpool dan Manchester United dengan Liverpool sebagai tim tuan rumah. Jika Anda yakin Liverpool akan memenangkan pertandingan, setidaknya ada dua cara untuk memenangkan uang di pasar 1, X, dan 2. Anda dapat bertaruh pada Liverpool, yaitu membeli kontrak yang membayar jika hasilnya adalah 1, atau Anda dapat menawarkan/menjual kontrak yang membayar untuk X atau 2. Dengan cara ini Anda akan mendapatkan jumlah yang Anda jual kontraknya, jika Liverpool tidak kalah atau seri. Bagaimana Betfair dan pasar taruhan lainnya menghasilkan uang? Betfair tidak mengambil risiko kehilangan uang pada hasil tertentu seperti perusahaan taruhan biasa. Sebaliknya, mereka mengambil komisi dari setiap kemenangan, persentase dari kemenangan. Persentasenya bervariasi antara 2-5%, tergantung pada volume yang Anda pertaruhkan. Jumlah tersebut dihitung dari pendapatan bersih Anda pada suatu pertandingan.

2 Data

Gambar 1: Presentasi pertandingan acak. Ada banyak informasi tentang pertandingan sepak bola yang tersedia, baik data pra-pertandingan maupun langsung. Mulai dari data yang mudah diproses seperti waktu gol hingga data yang lebih sulit dievaluasi seperti pemain cedera. Set data frekuensi tinggi yang digunakan dalam tesis ini terdiri dari harga langsung dari 1114 pertandingan sepak bola, yang diurai dari Betfair. Setiap 15 detik, harga bid dan ask untuk 1, X, dan 2 disimpan bersama dengan skor, waktu pertandingan, dan volume taruhan. Penanda untuk kick-off, babak pertama, dan peluit akhir juga disimpan bersama dengan data saat pasar ditutup, misalnya selama tendangan penalti. Data disimpan dalam matriks melalui Matlab sehingga mudah untuk dikerjakan. Gambar 1 memplot semua data yang tersedia untuk satu pertandingan. Untuk menyimpulkan, untuk setiap pertandingan, data berikut dikumpulkan:

• Judul: Nama tim yang bermain dan jenis pertandingan yang dimainkan
• Waktu kick-off: Waktu sebenarnya untuk kick-off
• Babak pertama: Waktu sebenarnya untuk akhir babak pertama
• Akhir babak pertama: Waktu sebenarnya saat babak kedua dimulai
• Peluit akhir: Waktu sebenarnya untuk akhir babak kedua
• Skor: Jumlah gol yang dicetak oleh masing-masing tim
• Harga bid dan ask: Harga bid dan ask untuk 1, X, dan 2
• Status pasar: Vektor boolean yang mewakili pasar terbuka atau tertutup

2.1 Properti pasar

Gambar 2: Volume (ribu GBP) diplot terhadap spread. Harga di pasar keuangan ditentukan oleh penawaran dan permintaan. Harga tertinggi saat ini yang diminta untuk suatu produk yang mendasarinya disebut harga bid, dan harga terendah yang ditawarkan, harga ask. Besarnya spread antara harga-harga ini tergantung pada beberapa faktor, yang terpenting adalah aliran kas di pasar. Gambar 3 dan 2 menunjukkan bagaimana spread di pasar Betfair menurun dengan jumlah yang dipertaruhkan/aliran kas, yang alami dan tipikal untuk setiap pasar keuangan. Kapan orang bertaruh langsung? Gambar 4 menampilkan jumlah yang dipertaruhkan setiap menit. Meskipun babak pertama akan menjadi titik alami untuk bertaruh tanpa tekanan, plot tidak menunjukkan peningkatan yang terlihat. Meskipun demikian, ada peningkatan yang stabil dalam volume selama babak kedua, menunjukkan bahwa orang lebih suka bertaruh dengan risiko lebih rendah. Sebelum melihat harga langsung, mari kita lihat pasar sebelum pertandingan. Pasar untuk 1, X, dan 2 dibuka jauh sebelum pertandingan sehingga ketika pertandingan baru dimulai, harga cukup stabil, terutama untuk pertandingan dengan aliran kas besar. Bagaimana dengan harga untuk hasil dalam ruang sampel 1, X, 2, apakah rata-rata adil atau tidak bias? Gambar 5, 7, dan 6 adalah histogram frekuensi pembayaran untuk 1, X, dan 2 yang diurutkan berdasarkan harga kontrak. Sumbu x mewakili interval harga, 0-0,1, 0,1-0,2, ..., dan sumbu y frekuensi kemenangan yang diamati untuk interval tersebut. Agar harga 0,5 adil, mereka harus rata-rata membayar 50% dari waktu. Batang harus menghasilkan kurva linier yang mewakili bahwa probabilitas untuk menang meningkat dengan harga, yang terlihat jelas dalam gambar. Penyimpangan kecil dapat dijelaskan oleh partisi interval, meninggalkan beberapa interval yang agak kecil. Tidak ada generalisasi besar untuk mengatakan bahwa harga waktu nol adalah tidak bias.

Gambar 5: Pembayaran untuk 1. Gambar 6: Pembayaran untuk 2. Probabilitas untuk hasil 1, X, 2 mengikuti relasi: P(1) + P(X) + P(2) = 1. Bagaimana dengan harga? Bayangkan bahwa harga ask price(1) + price(X) + price(2) < 1, maka ada situasi arbitrase. Misalnya, jika harga ask adalah price(1) = 0,4, price(X) = 0,3, dan price(2) = 0,2, maka beli ketiga kontrak tersebut. Terlepas dari hasilnya, Anda akan mendapatkan satu unit dan hanya menghabiskan 0,9 untuk portofolio. Kemungkinan arbitrase yang sama berlaku jika harga bid price(1) + price(X) + price(2) > 1, kecuali bahwa Anda kemudian menjual ketiga kontrak. Dalam 1114 pertandingan, kemungkinan arbitrase ini tidak pernah terjadi. Plot 8 menunjukkan jumlah harga bid dan ask untuk satu pertandingan, mengungkapkan bahwa jumlah harga ask tidak pernah kurang dari 1 dan harga bid tidak pernah lebih dari 1.

Gambar 7: Pembayaran untuk X. Gambar 8: Jumlah harga bid dan ask untuk 1, X, dan 2 selama pertandingan, menunjukkan bahwa harga ask tidak pernah kurang dari 1 dan harga bid tidak pernah lebih dari 1. Banyak pasar taruhan dan bandar membeli dan menjual derivatif pada underlying yang sama, hasil dalam pertandingan sepak bola tertentu. Jadi bahkan jika hubungan arbitrase dihormati di pasar Betfair, seseorang dapat menggabungkan dan membeli portofolio dari pasar/bandar yang berbeda. Bahkan ada perusahaan yang mencari kejadian seperti itu.

3 Model

Saat membuat model untuk harga langsung, ada beberapa properti utama yang harus diperjuangkan. Jika model nantinya akan digunakan untuk menghitung harga secara real-time, maka harus cukup cepat, terutama jika akan dimasukkan dalam strategi perdagangan. Model juga harus tidak ambigu, artinya beberapa parameter input harus menghasilkan harga unik untuk kondisi tersebut. Model penetapan harga harus mengelola semua kemungkinan situasi, tidak meninggalkan beberapa kondisi khusus yang tidak mungkin untuk diberi harga. Beberapa dinamika yang mempengaruhi hasil sangat sulit untuk dianalisis dan dimodelkan secara kualitatif, sehingga menggunakan data yang mudah diinterpretasikan juga diinginkan.

3.1 Model penetapan harga Poisson

Gambar 9: Probabilitas untuk 1, X, dan 2 untuk λ1 = 2 dan λ2 ∈ [0,4]. Gambar 10: Probabilitas mencetak x gol diplot untuk λ yang berbeda. Bayangkan pertandingan sepak bola antara tim 1 dan tim 2. Adalah umum untuk memodelkan hasil pertandingan sebagai realisasi dari dua variabel acak independen berdistribusi Poisson, dengan parameter λ1 dan λ2, masing-masing. Maka jumlah gol yang dicetak oleh tim 1 memiliki fungsi massa probabilitas P(tim 1 mencetak i gol) = e^(-λ1) * λ1^i / i!, untuk i ∈ N. Fungsi massa probabilitas hanya tergantung pada intensitas λ1. Jika intensitas didefinisikan sebagai jumlah gol selama 90 menit, Gambar 10 menampilkan kemungkinan x gol untuk intensitas yang berbeda. Karena dua tim diasumsikan mencetak gol secara independen satu sama lain, mudah untuk menghitung probabilitas untuk hasil tertentu. Probabilitas untuk hasil i-j (yaitu tim 1 mencetak i gol dan tim 2 mencetak j gol) diberikan oleh: P(hasil i-j) = e^(-λ1-λ2) * λ1^i * λ2^j / (i! j!). Probabilitas untuk pemenang pertandingan, P(tim 1 menang) adalah jumlah probabilitas untuk semua kombinasi di mana tim 1 telah mencetak lebih banyak gol daripada tim 2, P(tim 1 menang) = ∑_{i=1}^{n} ∑_{j=0}^{i-1} P(tim 1 mencetak i gol) P(tim 2 mencetak j gol), dan probabilitas untuk hasil seri, P(Seri) = ∑_{i=0}^{n} P(tim 1 dan tim 2 mencetak i gol) = e^(-λ1-λ2) * (λ1λ2)^i / i!. Probabilitas untuk 1, X, dan 2 bervariasi dan hanya tergantung pada dua intensitas. Gambar 9 menampilkan tiga probabilitas untuk λ1 tetap dan λ2 bervariasi. Jadi harga wajar untuk 1, 2, dan X dapat dihitung menggunakan fungsi dengan hanya dua intensitas sebagai input. f(λ1, λ2) → (HargaWajar1, HargaWajar2, HargaWajarX) = (P(tim 1 menang), P(tim 2 menang), P(seri)). Ini adalah metode terkenal untuk menghitung harga wajar untuk 1, X, dan 2, yang disarankan oleh Maher pada tahun 1982, lihat [2], [3] atau [1]. Dalam fungsi f di atas, [0, N0]^2 → [0,1]^2, untuk setiap pasangan intensitas, λ1 dan λ2, harga untuk 1, X, dan 2 ada dan unik.

3.2 Model penetapan harga langsung Poisson

Biarkan tim 1 dan tim 2 mencetak gol seperti dua proses Poisson independen s1 dan s2 dengan intensitas pencetakan gol yang diketahui λ1 dan λ2 per 90 menit. Jumlah gol yang dicetak pada menit t ∈ [0,90], s1(t) dan s2(t) kemudian berdistribusi Poisson dengan nilai yang diharapkan, E[sk(t)] = t λk / 90, t ∈ [0,90], k = 1,2. Harga wajar untuk hasil 1, (s1(90) > s2(90)), pada menit pertandingan t adalah: harga(t, x, y) = P(s1(90) > s2(90) | s1(t) = x, s2(t) = y), untuk t ∈ [0,90], dan x, y = 0,1,2,... Probabilitas bersyarat pada skor saat ini menyebabkan probabilitas untuk sebuah tim mencetak gol berkurang dengan waktu tersisa bahkan jika intensitas konstan, lihat Gambar 11. Di sini kita melihat bahwa probabilitas untuk mencetak 1 gol meningkat di awal karena λ = 2 dan tim tidak mencetak gol. Distribusinya tanpa "memori", tetapi pada titik tertentu tidak ada cukup waktu tersisa sehingga probabilitas untuk mencetak 1 gol menurun bahkan jika λ = 2. Probabilitas bahwa s1(90) > s2(90) dapat dihitung dengan cara yang sama seperti pada bagian sebelumnya sehubungan dengan skor saat ini dan probabilitas waktu yang menurun untuk gol. P(s1(90) > s2(90) | s1(t) = x, s2(t) = y), untuk t ∈ [0,90], dan x, y = 0,1,2,... Fungsi yang menyediakan harga langsung yang adil masih unik dan ada untuk setiap pasangan intensitas konstan λ1 dan λ2: f(λ1, λ2, t) → (HargaWajar1(t), HargaWajar2(t), HargaWajarX(t)), λ1, λ2 ≥ 0, t ∈ [0,90].

Gambar 11: Probabilitas untuk tim dengan intensitas λ1 = 2 untuk mencetak tepat 1 gol sepanjang pertandingan mengingat mereka telah mencetak 0 gol sejauh ini.

3.3 Kalibrasi intensitas

Apakah tim benar-benar mencetak gol secara independen satu sama lain? Secara intuitif, motivasi untuk mencetak gol tergantung pada skor lawan saat ini, tetapi pemeriksaan sederhana dari 1114 pertandingan mengungkapkan korelasi -0,0297 dan nilai-p 0,3249. Korelasinya tidak signifikan, sehingga motivasi untuk mencetak gol mungkin meningkat tetapi tidak pada intensitas sebenarnya. Dengan menggunakan bahwa tim 1 dan tim 2 mencetak gol dengan variabel stokastik X1 ∈ Po(λ1) dan X2 ∈ Po(λ2), bagaimana intensitas konstan dapat diperkirakan? Salah satu kesempatan adalah melihat data historis dan misalkan λ1 diperkirakan dengan jumlah rata-rata gol yang dicetak tim 1 dalam 10 pertandingan terakhir mereka. Metode ini logis tetapi tidak valid, tidak menggunakan dinamika antara dua tim tertentu dan membutuhkan data historis. Harga waktu nol dari Betfair sebelumnya ditunjukkan relatif tidak bias. Karena harga tersebut adil, mereka sesuai dengan probabilitas pada hasil yang berbeda. Oleh karena itu mereka membuat input yang sangat baik untuk memodelkan intensitas. Dengan menggunakan bahwa tim mencetak gol seperti yang dijelaskan di bagian terakhir, fungsi yang diinginkan adalah: g(harga1(t0), harga2(t0)) → (λ1, λ2) dimana f(λ1, λ2) = (harga1(t0), harga2(t0)). Karena intensitas konstan sepanjang pertandingan, λ1 dan λ2 berisi semua informasi yang diperlukan untuk menghitung harga adil sepanjang pertandingan. Fungsi f dapat dibalik, sehingga fungsi-fungsi ini dapat diimplementasikan secara numerik di Matlab. Intensitas dimodelkan sehingga probabilitas untuk tim 1 dan 2 menang sama dengan harga di Betfair tepat sebelum pertandingan dimulai, yang dilakukan melalui pencarian brute force dalam grid intensitas Poisson. Grid dibuat dengan menghitung probabilitas P(1) dan P(2) untuk setiap kombinasi intensitas λ1 = 0, 0,01 ... 3 dan λ2 = 0, 0,01 ... 3. Katakanlah HargaTeramati t0(1) = 0,3 dan HargaTeramati t0(2) = 0,4. Pencarian melalui grid menentukan intensitas mana yang memberikan probabilitas yang cocok, yaitu ketika abs(P(1) - 0,3) < 0,01 dan abs(P(2) - 0,2) < 0,01. Grid hanya dihitung sekali sebelumnya, yang membuat pencarian sangat cepat dan Harga(X) dihitung dengan Harga(X) = 1 - Harga(1) - Harga(2). Saat mengimplementasikan teknik Poisson secara numerik, nilai n harus dipilih saat menambahkan probabilitas. Probabilitas tim mencetak lebih dari 10 gol hampir nol dengan intensitas realistis. Jadi tanpa terlalu menggeneralisasi, n=10 telah digunakan dalam implementasi ini.

4 Evaluasi model

Ada beberapa pertanyaan penting saat mengevaluasi model langsung Poisson. Apakah pergerakan harga realistis? Dan bagaimana dengan intensitas pencetakan gol konstan, apa efeknya pada harga? Skenario yang sempurna adalah jika ia memprediksi hasil lebih baik daripada pasar, dan kemudian menggunakannya untuk membuat algoritma perdagangan yang menguntungkan. Untuk membandingkan pergerakan dengan harga yang diamati, beberapa studi kasus disajikan di bawah ini.

4.1 Studi kasus

Gambar 12 dan 13 memvisualisasikan harga Betfair bersama dengan harga model untuk dua pertandingan 0-0. Model Poisson menangani peluruhan waktu dalam harga dengan baik, dalam arti bahwa mereka mengikuti pasar. Harga untuk X bergerak menuju 1 seiring waktu, mewakili kemungkinan hasil seri, pertandingan 0-0, meningkat setiap detik tanpa gol. Harga model tentu saja tetap selama babak pertama, tetapi para pemain tampaknya tidak banyak mengubah pikiran mereka juga. Bahkan dengan satu gol, model tampaknya setuju dengan pemain, lihat Gambar 14. Ini menangani lompatan harga kritis setelah gol dengan sangat baik; hampir persis seperti harga yang diamati. Harga setelah gol bisa bermasalah. Dalam pertandingan dengan banyak gol, itu menjadi jelas, seperti pada 15. Model menilai gol berbeda dari para pemain.

Gambar 12: Contoh tanpa gol. Gambar 13: Contoh lain tanpa gol. Model Poisson hanya menggunakan waktu yang telah berlalu dan skor saat ini sebagai parameter pengubah harga, meninggalkan beberapa faktor yang tidak diperhitungkan. Gambar 16 menunjukkan bahwa model tidak menyesuaikan untuk kartu merah seperti yang dilakukan pemain di Betfair.

Gambar 14: Contoh dengan satu gol. Gambar 15: Contoh dengan banyak gol.

4.2 Lompatan harga setelah gol

Peristiwa paling spektakuler dan kritis saat menentukan harga hasil dalam pertandingan sepak bola adalah lompatan harga setelah gol. Tergantung pada skor saat ini dan waktu gol, itu bisa menjadi penentu atau hampir tidak berarti. Gol 4-0 pada menit ke-89 tidak akan banyak mempengaruhi harga untuk 1, X, atau 2. Tetapi gol yang mengubah hasil di akhir pertandingan menyebabkan perubahan yang sangat dramatis. Bagaimana model menilai gol dibandingkan dengan petaruh? Gambar 17 mengungkapkan bahwa model meleset untuk lompatan besar baik negatif maupun positif, dibandingkan dengan harga yang diamati. Dengan memplot lompatan, tanpa gol dalam lima belas menit terakhir, membuktikan bahwa sebagian besar lompatan besar disebabkan oleh gol akhir, lihat Gambar 18. Untuk lompatan yang lebih kecil, mereka tampaknya lebih setuju.

Gambar 16: Contoh dengan harga yang tidak memadai karena kartu merah. Gambar 17: Ukuran lompatan harga yang diamati untuk 1 setelah gol diplot terhadap ukuran lompatan harga oleh model Poisson.

4.3 Apakah intensitasnya benar-benar konstan?

Dalam model Poisson, probabilitas untuk sebuah tim mencetak gol hanya tergantung pada waktu yang telah berlalu dan intensitas pencetakan gol tetap sama sepanjang pertandingan. Bagaimana hal itu sesuai dengan kenyataan? Plot nomor 20 menunjukkan distribusi semua waktu gol. Batang tinggi di sebelah kanan mewakili semua gol waktu tambahan. Tanpa mereka, intensitas frekuensi relatif tampaknya terus meningkat sepanjang pertandingan, lihat plot 19. Dengan asumsi bahwa gol berdistribusi Poisson, waktu di antara mereka berdistribusi eksponensial. Untuk menyelidiki intensitas lebih lanjut, Gambar 22 dan 21 dengan jelas menunjukkan bahwa ada intensitas gol lain ketika skor 0-0. Sangat intuitif bahwa tim menggunakan beberapa menit pertama untuk pemanasan. Perkiraan kemungkinan untuk intensitas pencetakan gol adalah gol setiap 39,68 menit ketika skor 0-0 dan sekali setiap 31,95 menit untuk status skor lainnya. Perkiraan kemungkinan mencakup tidak hanya waktu antar gol tetapi juga pengamatan bahwa tidak ada gol antara gol terakhir dalam pertandingan dan peluit akhir. Menggunakan intensitas ini untuk menghitung probabilitas untuk pertandingan 0-0 kita mendapatkan: Waktu yang diharapkan untuk gol pertama: 39,68 menit, Waktu yang diharapkan untuk gol berikutnya: 31,95 menit, Perkiraan probabilitas untuk pertandingan 0-0: 5,28% dan 9,36%. Proporsi aktual yang diamati dari pertandingan 0-0 adalah 8,06% yang berada di antara dua intensitas di atas. Hipotesis lain adalah bahwa jika perbedaan skor hanya satu, moral untuk mencetak gol akan lebih tinggi, menghasilkan lebih banyak gol untuk status itu. Namun Gambar 23 tidak menunjukkan tanda yang jelas tentang hal ini.

Gambar 18: Ukuran lompatan harga yang diamati tanpa gol yang dibuat dalam 15 menit terakhir. Gambar 19: Waktu gol tanpa gol waktu tambahan dihaluskan. Gambar 20: Waktu gol dengan semua gol setelah menit pertandingan 90 dalam satu batang. Gambar 21: Distribusi menit ke gol pertama, bersama dengan kurva eksponensial yang sesuai. Gambar 22: Distribusi menit ke gol berikutnya kecuali yang pertama, bersama dengan kurva eksponensial yang sesuai. Gambar 23: Distribusi menit ke gol berikutnya ketika selisih gol adalah satu, bersama dengan kurva eksponensial yang sesuai.

4.4 Penetapan harga dalam pertandingan langsung dan analogi dengan Black dan Scholes

Saat membuat model penetapan harga untuk pasar keuangan, wajar untuk melihat sekilas pasar Black dan Scholes. Mereka menggambarkan pasar di mana yang mendasarinya, saham, dapat dimodelkan sebagai gerak Brown. Hal ini menyebabkan derivatif, seperti opsi vanila, dapat dihargai secara deterministik. Diberikan harga spot saham bersama dengan volatilitas, rumus Black dan Scholes akan memberi Anda harga wajar untuk opsi vanila dengan harga strike K, waktu hingga jatuh tempo t, dan dengan tingkat bunga r. Misalnya, harga opsi panggilan Eropa diberikan oleh: C(S,T) = N(d1)S - N(d2)Ke^{-r(T-t)}. Saat menetapkan harga derivatif dalam kerangka Black dan Scholes, orang berbicara tentang volatilitas implisit. Volatilitas implisit adalah volatilitas yang ketika menghitung derivatif menggunakan model penetapan harga memberikan nilai pasar saat ini. Model Poisson untuk harga langsung dalam pertandingan sepak bola tidak memiliki parameter volatilitas yang jelas. Volatilitas adalah ukuran variasi dari yang mendasarinya. Yang mendasarinya dalam pertandingan sepak bola adalah skor, yang dalam model Poisson ditentukan oleh intensitas pencetakan gol. Jadi analogi dari volatilitas Black dan Scholes adalah fungsi dari intensitas gol kedua tim. Saat menetapkan harga derivatif dalam model Black dan Scholes dengan harga strike jauh dari harga spot, harga pasar dan model berbeda jauh, dan menciptakan apa yang dikenal sebagai senyum volatilitas. Analogi untuk model Poisson adalah lompatan harga setelah gol, di mana telah terlihat bahwa lompatan besar lebih sulit ditangani. Asumsi tanpa arbitrase di pasar Black dan Scholes juga dihormati setidaknya di pasar Betfair. Pengamatan menarik lainnya tentang harga odds langsung adalah bahwa harga yang tidak diskalakan sama dengan probabilitasnya, P = Q. Ini nyaman tetapi juga sedikit membingungkan dalam pemikiran panjang tentang hasil. Di pasar Black dan Scholes, yang mendasarinya dimodelkan sebagai gerak Brown geometris. Mungkin mungkin untuk memodelkan intensitas pencetakan gol sepanjang pertandingan dengan cara yang sama, bukan membiarkannya konstan.

4.5 Perbedaan harga

Gambar 24: Perbedaan antara harga yang diamati dan harga Poisson yang diberikan untuk titik acak dalam pertandingan acak. Studi kasus merupakan indikasi bahwa model Poisson baik. Tetapi bagaimana perbedaannya dari harga yang diamati? Mengambil perbedaan absolut antara harga yang diamati dan harga Poisson memberikan perbedaan rata-rata 0,03 atau 10%. Gambar 24 mewakili perbedaan untuk beberapa titik acak. Lonjakan besar, dari harga yang sangat berbeda, dapat disebabkan oleh kartu merah atau waktu reaksi yang berbeda setelah gol. Tidak sepenuhnya adil untuk membandingkan pergerakan seperti ini. Waktu reaksi yang sedikit berbeda dapat memberikan perbedaan besar untuk suatu titik waktu bahkan jika harga memiliki pergerakan yang hampir identik. Cara yang lebih baik adalah dengan melihat seberapa baik model Poisson memprediksi hasil dibandingkan dengan petaruh/pasar.

5 Prediksi dan strategi perdagangan

Bagaimana jika model Poisson memberikan harga yang adil dan karena itu memprediksi hasil lebih baik daripada para pemain? Skenario utopis adalah untuk mendapatkan keuntungan langsung dari membeli atau menjual kontrak ketika harga pasar meleset. Untuk mengimplementasikan dan menguji strategi seperti ini, ada beberapa kesulitan teknis yang harus diatasi. Transaksi di pasar taruhan membutuhkan beberapa detik untuk dieksekusi. Ini menghilangkan keuntungan dari informasi yang lebih cepat tentang gol, kartu merah, atau apa pun yang mengubah permainan. Setiap kali peristiwa yang mengubah permainan terjadi, semua pesanan yang tidak terisi dihapus dan pasar dihidupkan ulang atau diatur ulang. Waktu pasar ditutup berbeda dari waktu ke waktu. Set data dalam makalah ini memberi tahu, untuk setiap titik waktu, apakah pasar terbuka atau tertutup. Data harga adalah setiap 15 detik. Sebaiknya ini lebih sering terutama setelah gol sehingga pembekuan dan pengaturan ulang data dapat diikuti secara lebih intensif. Strategi perdagangan dapat dibangun dengan banyak cara, cara termudah adalah membeli atau menjual kontrak yang salah harga dan menyimpannya sampai kedaluwarsa. Gambar 25 adalah kurva laba dan rugi ketika membeli satu kontrak per pertandingan, tanpa memperhatikan pasar tertutup atau waktu transaksi. Gambar 26 adalah kurva laba dan rugi ketika membeli satu kontrak per pertandingan menggunakan pasar tertutup tetapi waktu transaksi. Dalam kasus ini, algoritma membeli kontrak bahkan dalam waktu terpisah ketika pasar ditutup. Sebagian besar transaksi terjadi tepat setelah gol sebelum petaruh memiliki kesempatan untuk menstabilkan harga mereka dan pasar dibangun dengan sangat sedikit kontrak. Saat menghilangkan kemungkinan untuk membeli selama pasar tertutup, Gambar 26 masih menunjukkan kurva PoL yang jelas positif. Tetapi ketika juga menuntut penundaan transaksi pada urusan tersebut, semua pembelian potensial yang menguntungkan selama gol hilang, lihat Gambar 27. Mungkin ide yang baik untuk menyelidiki profitabilitas di pasar setelah gol, karena sebelumnya ditunjukkan bahwa harga Poisson berbeda dari yang diamati. Sekali lagi ini adalah pertanyaan yang rumit untuk berapa lama waktu transaksi harus disimulasikan. Karena interval waktu antara informasi adalah 15 detik, tidak diberikan bahwa sinyal beli atau jual dari algoritma dapat dieksekusi pada titik waktu yang sama. Gambar 28 mewakili skenario ketika tidak ada penundaan dari sinyal beli/jual ke perdagangan aktual. Tetapi jika transaksi membutuhkan satu titik waktu, kurva yang naik jelas hilang, lihat Gambar 29. Ini menunjukkan bahwa skenario yang menguntungkan pada Gambar 28 disebabkan oleh fluktuasi di pasar setelah gol. Mungkin ini adalah pasar potensial tetapi dengan data yang saya miliki sulit untuk memastikan. Ini juga bisa menjadi petunjuk bahwa pasar cukup efisien.

Gambar 25: Kurva laba dan rugi saat membeli satu kontrak per pertandingan, tidak memperhatikan pasar tertutup atau waktu transaksi. Gambar 26: Kurva laba dan rugi saat membeli satu kontrak per pertandingan menggunakan pasar tertutup tetapi waktu transaksi. Gambar 27: Kurva laba dan rugi saat membeli satu kontrak per pertandingan, dengan memperhatikan pasar tertutup dan waktu transaksi. Gambar 28: Kurva laba dan rugi saat membeli kontrak setelah gol, dengan memperhatikan pasar tertutup tetapi tidak waktu transaksi. Gambar 29: Kurva laba dan rugi saat membeli kontrak setelah gol, dengan memperhatikan pasar tertutup dan waktu transaksi.

6 Kesimpulan

Pasar taruhan langsung masih merupakan fenomena baru dan kurangnya penelitian akademis tentang harga langsung membuat bahkan investigasi fundamental menjadi menarik. Makalah ini membuka jalan untuk penelitian lebih lanjut baik meningkatkan model saat ini dan dengan lebih banyak data memperluasnya ke lebih banyak pasar daripada hanya bertaruh pada 1, X, dan 2. Model penetapan harga Poisson yang disajikan dalam makalah ini bekerja dengan baik sebagai model patokan meskipun dengan beberapa kekurangan yang jelas seperti ketidaksesuaian untuk kartu merah. Ini tidak memprediksi hasil lebih baik daripada pasar, atau jika ya, terlalu sedikit untuk menguntungkan. Mungkin model yang lebih baik dapat dibuat jika intensitas dapat dikalibrasi ulang tergantung pada dinamika permainan. Perbedaan yang jelas dalam intensitas ketika skor 0-0 juga merupakan sesuatu yang dapat dimodelkan secara terpisah. Ada studi lain yang dibuat dengan model Poisson yang dimodifikasi, misalnya lihat [1] atau [3] dan mungkin itu adalah sesuatu yang dapat dilakukan dengan harga langsung juga. Jika lebih banyak data telah dikumpulkan selama pertandingan, seperti penguasaan bola atau tendangan sudut, lebih banyak peluang akan terbuka. Kemungkinan untuk bertaruh pada hasil tepat, seperti yang dipelajari dalam [4], juga merupakan sesuatu yang menarik untuk dilakukan dengan data langsung dan melihat seberapa baik model Poisson bekerja. Pasar taruhan juga menyediakan pasar pada ruang sampel lain seperti tim berikutnya yang mencetak gol, dan mungkin bisa digunakan untuk melakukan lindung nilai taruhan pada 1, X, dan 2. Upaya untuk membuat algoritma perdagangan meninggalkan beberapa pertanyaan yang belum terjawab, dan akan menarik untuk memiliki data yang lebih sering di sekitar gol. Untuk alasan yang jelas, bandar merahasiakan bagaimana mereka memperbarui harga langsung mereka. Tetapi tidak mustahil mereka menggunakan semacam model Poisson. Karena ini adalah metode penetapan harga yang cukup cepat, pasti dapat digunakan, setidaknya dengan beberapa modifikasi.

7 Referensi

1. [1] Mark J. Dixon dan Stuart G. Coles. Modelling Association Football Scores and Inefficiencies in the Football Betting Market. Applied Statistics, Volume 46, Issue 2 (1997).
2. [2] M.J. Maher. Modelling Association Football scores. Statistica Neerlandica, 36, (1982).
3. [3] Dimitris Karlis dan Ioannis Ntzoufras. Analysis of sports data by using bivariate Poisson models. The Statistician, 52, Part 3, (2003).
4. [4] Michael Cain, David Law dan David Peel. The favourite-longshot bias and market efficiency in uk football betting. Scottish Journal of Political Economy, vol 47, No 1 (2000).
5. [5] Niko Marttinen. Creating a Profitable Betting Strategy for Football by Using Statistical Modelling. M. Department of Statistics, Trinity College, Dublin (2001).
6. [6] Rasmus B. Olesen. Assessing the number of goals in soccer matches. M. Department of Computer Science, Aalborg University, (2008).