PROBABILITAS

Probabilitas

Tulang punggung matematika permainan kasino adalah "probabilitas". Secara informal, kita memahami probabilitas sebagai angka yang menggambarkan kemungkinan terjadinya sesuatu. Biasanya dinyatakan sebagai pecahan atau desimal dengan nilai antara 0 dan 1, atau sebagai persen dengan nilai antara 0% dan 100%. Probabilitas 0 berarti peristiwa tidak pernah terjadi. Probabilitas 1 berarti peristiwa selalu terjadi. Sebagai contoh, lemparkan dua dadu dan jumlahnya 13; itu tidak mungkin, jadi probabilitasnya 0. Lempar koin dan hasilnya kepala atau ekor; itu pasti, jadi probabilitasnya 1. Dadu dan koin tidak pernah mendarat di tepi di dunia matematis yang sempurna.

Ruang Sampel

Teori formal probabilitas dimulai dengan memahami apa yang disebut "ruang sampel". Ini hanyalah deskripsi dari semua hasil yang mungkin – segala sesuatu yang mungkin terjadi. Beberapa contoh:

1. Ada 2 hasil saat koin dilempar; ruang sampelnya adalah {Kepala, Ekor}.
2. Ada 6 hasil saat satu dadu dilempar; ruang sampelnya adalah {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
3. Ada 36 hasil saat dua dadu dilempar (dadu pertama dan dadu kedua masing-masing menghasilkan nilai dari 1 hingga 6, jadi ada 6 × 6 = 36 hasil). Ruang sampelnya adalah {[1,1], [1,2], [1,3], [1,4], [1,5], [1,6], [2,1], … dan seterusnya}, atau lebih sederhananya, menggunakan notasi pembangun himpunan, adalah {[x,y] | 1 ≤ x ≤ 6 , 1 ≤ y ≤ 6 }.
4. Ada 38 hasil saat roda roulette diputar. Ruang sampel terdiri dari angka 1 hingga 36, bersama dengan nol dan nol ganda.
5. Ada 52 cara satu kartu dapat dibagikan dari setumpuk kartu. Ruang sampel terdiri dari himpunan nilai kartu (peringkat dan suit).
6. Ada 1.326 tangan awal dua kartu dalam Texas Hold'em. Ruang sampel terdiri dari himpunan pasangan kartu.

Banyak eksperimen memiliki ruang sampel yang mudah dipahami dari sifat eksperimen tetapi mungkin tidak dijelaskan secara eksplisit. Ruang sampel seringkali sangat besar untuk permainan kasino, mencerminkan perasaan intuitif bahwa terlalu banyak hal yang bisa terjadi untuk dihitung semuanya. Matematikawan harus menghitung semuanya.

• Ada 66.300 cara seorang pemain dapat dibagikan dua kartu melawan kartu atas dealer dalam blackjack satu dek.
• Ada 2.598.960 cara 5 kartu dapat dibagikan kepada pemain dalam poker.
• Ada 407.170.400 cara pemain dan dealer dapat dibagikan masing-masing tiga kartu dalam Three Card Poker.
• Ada 55.627.620.048.000 cara dua pemain dapat memainkan satu tangan Texas Hold'em, termasuk dua kartu awal, tiga kartu flop, turn, dan river, bermain head-to-head.

Kejadian

Suatu "kejadian" terdiri dari beberapa hal yang dapat terjadi dalam eksperimen. Kejadian adalah cara mendeskripsikan sebagian dari segala hal yang mungkin terjadi dalam permainan. Berikut beberapa contoh kejadian yang sesuai dengan beberapa permainan dalam daftar di atas:

• Melempar koin dan mendapatkan kepala.
• Melempar dua dadu dan mendapatkan jumlah 7.
• Mendapatkan blackjack langsung melawan kartu atas dealer As.
• Mendapatkan full house langsung sebagai tangan poker lima kartu.
• Mendapatkan straight yang kalah dari straight yang lebih tinggi di Three Card Poker.
• Mendapatkan pocket pair di Texas Hold'em.

Untuk menghitung probabilitas suatu kejadian, kita perlu mengetahui dua informasi. Pertama, kita memerlukan hitungan lengkap dari jumlah elemen individu dalam ruang sampel. Kedua, kita perlu tahu berapa banyak elemen individu dalam koleksi yang sesuai dengan kejadian tersebut. Sederhananya, kita perlu tahu ukuran ruang sampel dan ukuran kejadian.

Rumus Probabilitas

Setelah mengetahui nilai-nilai ini, kita mendefinisikan probabilitas kejadian dengan persamaan:

Probabilitas = (Ukuran kejadian) / (Ukuran ruang sampel)

Kata "Probabilitas" panjang untuk ditulis; biasanya menggunakan huruf "P" saat merujuk pada probabilitas suatu kejadian. Yang tidak jelas dari persamaan probabilitas adalah cara menghitung ukuran berbagai koleksi. Sayangnya, dalam perjudian hanya ada sedikit masalah sederhana dan masalah penghitungan ini bisa sangat kompleks. Untuk kasus ketika penghitungan mudah, probabilitas dapat dihitung dengan cepat. Kami akan membahas beberapa contoh untuk mendemonstrasikan beberapa teknik. Semoga contoh-contoh ini akan membantu memperjelas konsep probabilitas untuk permainan kasino dan beberapa metode yang digunakan untuk mendapatkan nilai-nilai ini.

Probabilitas Lemparan Koin

Saat melempar koin, misalkan H = "Kepala" dan T = "Ekor". Untuk lemparan koin tunggal, ruang sampelnya adalah {H, T} dan memiliki dua elemen. Untuk mendapatkan "kepala" sesuai dengan kejadian {H}, yang memiliki satu elemen. Jadi:

P(kepala) = 1 / 2 = 0,5000.

Probabilitas Texas Hold'em

Kartu Pertama dan Kedua

Di Texas Hold'em, ada 52 kemungkinan kartu pertama yang bisa dibagikan dan 51 kemungkinan kartu kedua. Karena urutan kartu tidak penting, kita bagi dengan 2 untuk memperhitungkan simetri. Ukuran ruang sampel adalah:

(52 × 51) / 2 = 1.326.

Pocket Pair

Kita pertimbangkan kejadian mendapatkan pair. Jika kita lihat pair deuces, ada enam kemungkinan pair (sekali lagi, urutan tidak penting): {[2C,2D], [2C,2H], [2C,2S], [2D,2H], [2D,2S], [2H,2S]}. Untuk setiap peringkat kartu, ada enam kemungkinan pair dari peringkat tersebut. Ada 13 kemungkinan peringkat untuk pair, dan enam cara membuat pair pada peringkat tersebut. Ini memberikan 13 × 6 = 78 pair. Jadi, ukuran kejadian mendapatkan pocket pair adalah 13 × 6 = 78. Jadi:

P(pocket pair) = 78 / 1.326 = 0,0588.

Probabilitas Melempar Dadu

Saat melempar dua dadu, ruang sampelnya adalah {[x,y] | 1 ≤ x ≤ 6 , 1 ≤ y ≤ 6 }; ruang sampel memiliki 36 elemen. Kejadian "mendapatkan jumlah 7" sesuai dengan subset ruang sampel {[1,6], [2,5], [3,4], [4,3], [5,2], [6,1]}. Subset ini memiliki 6 elemen. Oleh karena itu:

P(jumlah 7) = 6 / 36 = 0,1667.

Probabilitas Blackjack Melawan Dealer As

Dalam blackjack satu dek, ada (52 × 51) / 2 = 1.326 kemungkinan tangan awal dua kartu untuk pemain. Untuk setiap tangan tersebut, ada 50 kartu tersisa di dek yang dapat dibagikan sebagai kartu atas dealer. Jadi ada 1.326 × 50 = 66.300 kemungkinan situasi awal. Jadi ukuran ruang sampel adalah 66.300. Kejadian yang kita minati adalah mendapatkan blackjack melawan dealer As. Blackjack pemain terdiri dari kartu wajah (16 di antaranya) dan As (4 di antaranya). Ada 16 × 4 = 64 cara pemain mendapatkan blackjack. Ada 3 As tersisa dari 50 kartu untuk kartu atas dealer. Jadi ada 16 × 4 × 3 = 192 cara pemain memiliki blackjack melawan kartu atas dealer As. Kejadian blackjack pemain melawan dealer As memiliki ukuran 192. Oleh karena itu:

P(Blackjack vs. Dealer As) = 192 / 66.300 = 0,002896.

Ini berarti situasi di mana pemain dapat mempertimbangkan mengambil "even money" muncul sekitar 29 kali dari setiap 10.000 tangan, atau sekitar sekali setiap 345 tangan. Di meja penuh dan dengan kecepatan pembagian standar, ini berarti sekitar satu keputusan "even money" per meja per jam dalam satu dek. Melakukan perhitungan yang sama untuk permainan enam dek, kita mendapatkan ruang sampel dengan ukuran 15.039.960 dan kejadian dengan ukuran 52.992, sehingga:

P(Blackjack vs. Dealer As) = 52.992 / 15.039.960 = 0,003523.

Ini berarti situasi even money muncul sekitar 35 kali per 10.000 tangan, atau sekitar sekali setiap 284 tangan. Even money jauh lebih umum, dan karena itu berpotensi lebih menguntungkan bagi kasino, dalam permainan shoe.

Probabilitas Three Card Poker

Dalam contoh ini, kita akan membahas rincian matematis dari taruhan Pair Plus di Three Card Poker dan menghitung semua probabilitas.

Pertama, ruang sampel terdiri dari semua tangan tiga kartu yang berbeda yang dapat dibagikan dari setumpuk 52 kartu remi. Ada 52 kemungkinan nilai untuk kartu pertama, 51 kemungkinan untuk kartu kedua, dan 50 kemungkinan untuk kartu ketiga. Tiga kartu dapat diatur ulang dalam enam cara yang mungkin, tetapi tetap menjadi tiga kartu yang sama: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, dan CBA. Oleh karena itu, jumlah tangan tiga kartu yang berbeda adalah:

(52 × 51 × 50) / 6 = 22.100.

Kejadian: Straight Flush

Ini mudah dihitung. Untuk mendapatkan straight, kita harus mendapatkan salah satu tangan A23, 234, 345, 456, 567, 678, 789, 89T, 9TJ, TJQ, JQK, QKA dalam salah satu dari empat suit. Ada 12 straight dan setiap straight dapat terjadi dalam salah satu dari empat suit, jadi ada 12 × 4 = 48 cara untuk mendapatkan straight flush. Jadi:

P(Straight Flush) = 48 / 22.100 = 0,002172.

Kejadian: Three of a Kind

Sekali lagi, kita bisa menghitung langsung. Untuk deuces, kita bisa mendapatkan trips dengan salah satu tangan [2C,2D,2H], [2C,2D,2S], [2C,2H,2S], dan [2D,2H,2S]. Ada empat trips untuk setiap peringkat dan ada tiga belas peringkat, jadi ada 13 × 4 = 52 cara untuk mendapatkan three of a kind. Jadi:

P(Three of a Kind) = 52 / 22.100 = 0,002353.

Kejadian: Straight (Bukan Straight Flush)

Kita mulai dengan menghitung semua straight, termasuk straight flush. Seperti di atas, straight terdiri dari salah satu jenis tangan A23, 234, 345, 456, 567, 678, 789, 89T, 9TJ, TJQ, JQK, QKA. Mari kita lihat A23 secara khusus. Kita bisa memiliki suit apa pun untuk A, 2, dan 3; ada empat pilihan untuk suit masing-masing (klub, wajik, hati, dan sekop). Oleh karena itu straight A23 terdiri dari memilih satu kartu dari {AC, AD, AH, AS}, {2C, 2D, 2H, 2S} dan {3C, 3D, 3H, 3S}. Ada 4 × 4 × 4 = 64 cara memilih tiga kartu ini. Jadi ada 64 straight tipe A23. Ada 12 tipe straight dan setiap straight dapat terjadi dalam 64 cara. Jadi jumlah total straight adalah 12 × 64 = 768. Namun angka ini termasuk 44 tangan straight flush yang sudah kita hitung, jadi kita harus menguranginya. Ini menyisakan 768 – 48 = 720 straight yang bukan straight flush. Jadi:

P(Straight) = 720 / 22.100 = 0,032579.

Kejadian: Flush (Bukan Straight Flush)

Kita perlu menghitung semua tangan XYZ di mana X, Y, dan Z memiliki suit yang sama dan tangan tersebut bukan straight flush. Kita pilih suit Klub. Ada 13 kartu. Kita dapat memilih salah satu dari 13 ini untuk kartu pertama, salah satu dari 12 sisanya untuk kartu kedua, dan salah satu dari 11 sisanya untuk kartu ketiga. Karena tiga kartu dapat diatur ulang dalam enam cara dan urutan pembagian tidak penting, maka jumlah cara mendapatkan flush dalam klub adalah (13 × 12 × 11) / 6 = 286. Dari flush ini, 12 di antaranya adalah straight flush. Ini menyisakan 286 – 12 = 274 flush di klub yang bukan straight flush. Karena ada empat suit, maka jumlah total flush adalah 274 × 4 = 1.096. Jadi:

P(Flush) = 1.096 / 22.100 = 0,049593.

Kejadian: Pair

Ada 6 cara mendapatkan pair dari peringkat apa pun. Misalnya, untuk mendapatkan pair deuces, pemain harus memegang salah satu pair [2C,2D], [2C,2H], [2C,2S], [2D,2H], [2D,2S], atau [2H,2S]. Setelah pair dibagikan, kartu ketiga harus kartu dengan peringkat berbeda (jika tidak, tangan akan menjadi trips). Ada 48 kartu yang tidak sama peringkatnya dengan pair. Menggabungkan ini, ada 13 kemungkinan peringkat untuk pair, 6 pair dari peringkat tersebut, dan 48 kemungkinan kartu ketiga dengan peringkat berbeda. Mengalikan ini, kita mendapatkan total 13 × 6 × 48 = 3.744 pair. Jadi:

P(Pair) = 3.744 / 22.100 = 0,169412.

Kejadian: Nothing

Kasus terakhir ini adalah yang termudah. Mendapatkan nothing berarti tangan tersebut bukan salah satu dari di atas. Kita cukup mengurangi semua hasil di atas dari jumlah total tangan. Ini memberikan 22.100 – 48 – 52 – 720 – 1.096 – 3.744 = 16.440 tangan yang kalah untuk taruhan Pair Plus. Jadi:

P(Nothing) = 16.440 / 22.100 = 0,743891.

Frekuensi Hit

Sekarang kita ilustrasikan cara menghitung frekuensi hit. Untuk taruhan Pair Plus, pemain menang setiap kali memiliki pair atau lebih baik. Frekuensi hit sesuai dengan probabilitas mendapatkan pair atau lebih baik. Untuk menemukan jumlah elemen dalam kejadian ini, kita cukup menjumlahkan semua kemungkinan tangan menang. Melakukan ini, kita dapatkan 48 + 52 + 720 + 1.096 + 3.744 = 5.660. Jadi:

Frekuensi Hit = P(Menang) = 5.660 / 22.100 = 0,256109.

Dari sini, frekuensi hit adalah 1-dalam-3,9. Dengan pembulatan, pemain menang sekitar sekali setiap empat kali dia membuat taruhan Pair Plus.

Terakhir, perhatikan bahwa jika kita menjumlahkan semua probabilitas, kita mendapatkan 0,002172 + 0,002353 + 0,032579 + 0,049593 + 0,169412 + 0,743891 = 1,000000. Ini berarti probabilitas bahwa sesuatu akan terjadi adalah 1, suatu kepastian.