Menang di Roulette: Probabilitas dan Paradoks

Menang di Roulette: Probabilitas dan Paradoks

Minggu lalu saya berada di Sanremo, dan untuk menghindari Festival Lagu Italia saya masuk ke Kasino. Sesampainya di ruang roulette, saya berpikir untuk melewati malam tanpa bosan dengan mencoba sensasi memasang serangkaian taruhan. Seperti yang mungkin Anda ketahui, roulette pada dasarnya adalah piringan yang dibagi menjadi 37 sektor sama besar, bernomor 0 hingga 36. Dengan bertaruh pada satu nomor, jika nomor tersebut keluar, saya mendapatkan kembali 36 kali lipat dari taruhan saya, jika tidak, tidak ada. Secara statistik, bandar memperoleh 1/37 dari uang yang dipertaruhkan, sekitar 2,7%, seperti yang dapat dengan mudah dilihat dengan membayangkan ada 37 pemain yang masing-masing bertaruh jumlah yang sama pada nomor yang berbeda. Saya memiliki anggaran 105 euro, dan saya memutuskan untuk melakukan 105 taruhan berturut-turut masing-masing satu euro, selalu pada satu nomor yang dipilih dengan melempar generator angka acak di PDA saya. Pertanyaan yang saya ajukan adalah: berapa probabilitas saya meninggalkan kasino dengan lebih banyak uang daripada saat saya masuk?

Cerita ini tentu fiktif: Saya tidak pergi ke Sanremo, dan saya tidak akan pergi ke Kasino. Namun pertanyaan ini serius, dan jawabannya sangat kontraintuitif: kemungkinan saya keluar dengan lebih banyak uang daripada saat memulai lebih besar. Jangan percaya pada semua orang yang mengatakan bahwa jika Anda bermain cukup lama, Anda akan kehilangan segalanya: atau lebih tepatnya, itu benar, tetapi 105 putaran tidaklah cukup. Untuk membuktikannya, saya harus menunjukkan sedikit perhitungan. Pertama, mudah dilihat bahwa saya hanya perlu menang tiga kali untuk memiliki 108 euro, sehingga unggul dari awal. Sekarang mari kita hitung, atau lebih tepatnya saya akan menghitungnya untuk Anda karena ini adalah konsekuensi dari teorema binomial, tetapi juga angka-angka besar. Probabilitas saya tidak menang sama sekali adalah (36/37)^105, yaitu 5,63%. Probabilitas saya menang tepat satu kali adalah 105 * (1/37) * (36/37)^104, yaitu 16,42%. Probabilitas saya menang dua kali adalah (105*104/2) * (1/37)^2 * (36/37)^103, yaitu 23,72%. Jumlah semua probabilitas ini, dibulatkan ke atas, adalah 45,8%; sisanya, yaitu 54,2%, adalah probabilitas saya menang setidaknya tiga kali. Bahkan pada roulette Amerika, yang menambahkan nol kedua untuk memastikan keuntungan yang lebih besar bagi bandar, strategi ini akan membuat Anda pulang dengan lebih banyak uang dalam 52,4% kasus.

Sebelum Anda bergegas ke kasino terdekat, saya sarankan Anda terus membaca; tidak semuanya emas yang berkilau. Tentu saja saya tidak menipu Anda dalam perhitungan, itu akan menjadi kekejaman yang tidak perlu. Saya menjamin bahwa probabilitas saya akan meninggalkan kasino dengan lebih banyak uang adalah 54,2%. Intinya adalah bahwa itu adalah jawaban yang benar untuk pertanyaan yang salah! Dengan kata lain, pertanyaan yang lebih alami untuk diajukan bukanlah itu, melainkan "dengan berapa banyak uang rata-rata saya akan meninggalkan kasino?" dan jawaban untuk pertanyaan ini adalah "sekitar 102,16 euro", sehingga kehilangan 2,84 euro (sepertiga puluh tujuh dari uang yang dipertaruhkan). Paradoks yang bagus, bukan? Sebenarnya tidak terlalu paradoks; sekarang saya akan mencoba menjelaskannya dengan cara sesederhana mungkin.

Mari kita ambil contoh yang lebih dramatis, dengan roulette tetapi roulette Rusia. Kami memiliki pistol enam peluru yang diisi dengan satu peluru, kami memutar tabung, mengarahkannya ke pelipis dan menembak. Untuk menghindari menembak dan kemudian mati - saya suka permainan kata tetapi tidak darah - saya memilih versi yang tidak terlalu kejam. Pistol tidak menembakkan peluru sungguhan, tetapi sebuah bendera kecil dengan tulisan "BANG" keluar. Permainannya seperti ini: jika pistol kosong, bandar akan memberi Anda 10 euro; jika Anda terkena BANG, Anda harus membayar bandar 1000 euro. Dalam hal ini, jika ditanya apakah Anda setuju untuk bermain roulette Rusia, saya kira Anda akan menjawab tidak: risiko kehilangan 1000 euro jauh lebih besar daripada 10 euro yang akan Anda dapatkan. Namun, jika dipikir-pikir, pada akhirnya Anda pulang dengan lebih banyak uang lima dari enam kali, bukan? Lalu mengapa Anda tidak mencobanya? Hal yang sama terjadi dalam kasus 105 putaran roulette, meskipun lebih sulit dilihat secara intuitif. Memang benar bahwa Anda menang lebih sering daripada kalah, tetapi dalam banyak kasus Anda menang sangat sedikit, dan pulang dengan sejumlah uang adalah kemungkinan yang sangat langka sehingga dapat diabaikan. Di sisi lain, ada kemungkinan yang tidak dapat diabaikan untuk kehilangan sebagian besar, atau bahkan seluruh uang Anda. Rata-rata, ini seperti seseorang yang berhasil memanjat enam atau tujuh kali berturut-turut satu meter setiap kali, sebelum tergelincir turun sepuluh meter. Pada akhirnya Anda berada lebih rendah dari sebelumnya, meskipun Anda "hampir selalu" naik.

Masih dalam paradoks yang sama, berikut metode yang memberi Anda lebih dari 99% kemungkinan meninggalkan kasino dengan keuntungan... asalkan Anda bersedia mengambil risiko kehilangan 127 euro. Tekniknya sederhana, dan mirip dengan martingale. Masuklah dengan 127 euro. Pilih "taruhan sederhana" (merah/hitam, ganjil/genap, kecil/besar), dan bertaruh satu euro. Jika menang, ambil kemenangan Anda dan lari. Jika kalah, bertaruh dua euro pada taruhan sederhana. Jika kali ini menang, total bersih Anda adalah untung satu euro: sekali lagi, ambil dan pergi. Lanjutkan seperti ini, gandakan setiap taruhan, sampai Anda menang atau setelah putaran ketujuh, Anda kehilangan semua uang, dan Anda menyadari bahwa perjudian bukan untuk Anda. Tapi berapa probabilitas menjadi sial seperti itu? Jika tidak ada nol, Anda memiliki probabilitas 1/2 untuk kalah setiap putaran, jadi probabilitas kalah terus-menerus adalah 1/128. Angka nol menguntungkan bandar, sehingga probabilitas bangkrut meningkat: namun tetap hanya sedikit di atas 0,94%, yang berarti dalam lebih dari 99% kasus Anda dapat memberi tahu teman-teman Anda "Lihat? Saya pergi ke kasino dan menang!"

Saya tahu, kita tidak boleh memberi moral, jadi bacalah baris terakhir ini sebagai saran sederhana. Pertama, jangan langsung mengejek mereka yang berkata "saya sering menang di kasino": mungkin mereka benar. Tetapi yang terpenting, ingatlah bahwa tidak selalu jawaban yang benar adalah jawaban untuk pertanyaan yang benar.