Simple Dice Games

Dadu Poker

Definisi

Permainan dadu poker mirip dengan poker standar, tetapi dimainkan dengan dadu sebagai pengganti kartu. Dalam dadu poker, 5 dadu adil dilempar. Hasil dari eksperimen acak dicatat sebagai urutan skor: (X1,X2,...,X5). Ruang sampel adalah {1,2,3,4,5,6}^5. Karena dadu adil, asumsi pemodelan dasar adalah bahwa (X1,X2,...,X5) adalah barisan variabel acak independen dan masing-masing terdistribusi seragam pada {1,2,3,4,5,6}. Dengan kata lain, (X1,X2,...,X5) terdistribusi seragam pada {1,2,3,4,5,6}^5. Dalam istilah statistik, tangan dadu poker adalah sampel acak berukuran 5 yang diambil dengan pengembalian dan memperhatikan urutan dari populasi {1,2,3,4,5,6}. Untuk informasi lebih lanjut, lihat bab tentang Model Sampling Hingga. Secara khusus, dalam bab tersebut Anda akan mempelajari bahwa hasil Latihan 1 tidak akan benar jika kita mencatat hasil eksperimen dadu poker sebagai himpunan tak terurut sebagai ganti urutan.

Nilai Tangan

Nilai tangan dadu poker adalah variabel acak V dengan himpunan dukungan {0,1,2,3,4,5,6,7}. Nilai didefinisikan sebagai berikut:

1. Bust (0). Tidak ada kasus berikut yang terjadi.
2. One Pair (1). Empat skor berbeda muncul; satu skor muncul dua kali dan tiga skor lainnya muncul satu kali.
3. Two Pair (2). Tiga skor berbeda muncul; dua skor muncul dua kali dan satu skor muncul satu kali.
4. Three of a Kind (3). Tiga skor berbeda muncul; satu skor muncul tiga kali dan dua skor lainnya muncul satu kali.
5. Full House (4). Dua skor berbeda muncul; satu skor muncul tiga kali dan skor lainnya muncul dua kali.
6. Straight (5). Skor membentuk urutan berurutan, yaitu 1–5 atau 2–6.
7. Four of a Kind (6). Dua skor berbeda muncul; satu skor muncul empat kali dan skor lainnya muncul satu kali.
8. Five of a Kind (7). Satu skor muncul lima kali.

Jalankan eksperimen dadu poker sebanyak 10 kali dalam mode langkah tunggal. Untuk setiap hasil, perhatikan bahwa nilai variabel acak sesuai dengan jenis tangan, seperti yang diberikan di atas.

Fungsi Kepadatan Probabilitas

Menghitung fungsi kepadatan probabilitas V adalah latihan yang baik dalam probabilitas kombinatorial. Dalam latihan berikut, kita akan memerlukan dua aturan dasar kombinatorik untuk menghitung jumlah urutan dadu dari tipe tertentu: aturan perkalian dan aturan penjumlahan. Kita juga akan memerlukan beberapa struktur kombinatorial dasar, terutama kombinasi dan permutasi (dengan jenis objek yang identik).

Jumlah total tangan dadu poker yang berbeda adalah 6^5 = 7776.

Rincian untuk Bust: Kejadian bust adalah komplemen dari kejadian A (semua tangan lainnya).

One Pair: Langkah-langkah berikut membentuk algoritma untuk menghasilkan tangan dadu poker dengan satu pasang. Jumlah cara melakukan setiap langkah juga diberikan: (a) Pilih skor yang akan muncul dua kali: 6. (b) Pilih 3 skor yang akan muncul satu kali: C(5,3)=10. (c) Pilih permutasi dari 5 angka di bagian (a) dan (b): 5!/2! = 60. Jumlah total = 6 * 10 * 60 = 3600. Probabilitas = 3600/7776 ≈ 0,46296.

Two Pair: Langkah-langkah: (a) Pilih dua skor yang akan muncul dua kali: C(6,2)=15. (b) Pilih skor yang akan muncul satu kali: 4. (c) Pilih permutasi: 5!/(2!2!) = 30. Jumlah total = 15 * 4 * 30 = 1800. Probabilitas = 1800/7776 ≈ 0,23148.

Three of a Kind: Langkah-langkah: (a) Pilih skor yang akan muncul 3 kali: 6. (b) Pilih 2 skor yang akan muncul satu kali: C(5,2)=10. (c) Pilih permutasi: 5!/3! = 20. Jumlah total = 6 * 10 * 20 = 1200. Probabilitas = 1200/7776 ≈ 0,15432.

Full House: Langkah-langkah: (a) Pilih skor yang akan muncul 3 kali: 6. (b) Pilih skor yang akan muncul dua kali: 5. (c) Pilih permutasi: 5!/(3!2!) = 10. Jumlah total = 6 * 5 * 10 = 300. Probabilitas = 300/7776 ≈ 0,03858.

Straight: Langkah-langkah: (a) Pilih urutan straight: 2 (1-5 atau 2-6). (b) Pilih permutasi: 5! = 120. Jumlah total = 2 * 120 = 240. Probabilitas = 240/7776 ≈ 0,03086.

Four of a Kind: Langkah-langkah: (a) Pilih skor yang akan muncul 4 kali: 6. (b) Pilih skor yang akan muncul satu kali: 5. (c) Pilih permutasi: 5!/4! = 5. Jumlah total = 6 * 5 * 5 = 150. Probabilitas = 150/7776 ≈ 0,01929.

Five of a Kind: Ada 6 pilihan untuk skor yang akan muncul 5 kali. Jumlah total = 6. Probabilitas = 6/7776 ≈ 0,00077.

Bust: Probabilitas bust = 1 - (probabilitas semua tangan lainnya) = 1 - (3600+1800+1200+300+240+150+6)/7776 = 1 - 7296/7776 = 480/7776 ≈ 0,06173.

Jalankan eksperimen dadu poker sebanyak 1000 kali dan bandingkan fungsi frekuensi relatif dengan fungsi kepadatan.

Temukan probabilitas melempar tangan yang memiliki three of a kind atau lebih baik. Rincian: (1200+300+240+150+6)/7776 = 1896/7776 ≈ 0,24383.

Dalam eksperimen dadu poker, atur kriteria berhenti ke nilai V yang diberikan di bawah ini. Perhatikan jumlah tangan yang diperlukan.

Chuck-a-Luck

Chuck-a-luck adalah permainan karnaval populer, dimainkan dengan tiga dadu. Menurut Richard Epstein, nama aslinya adalah Sweat Cloth, dan di pub Inggris, permainan ini dikenal sebagai Crown and Anchor (karena keenam sisi dadu diukir dengan gambar keriting, wajik, hati, sekop, mahkota, dan jangkar). Dadu berukuran besar dan disimpan dalam sangkar berbentuk jam pasir yang dikenal sebagai sangkar burung. Dadu dilempar dengan memutar sangkar burung.

Dalam permainan chuck-a-luck, penjudi memilih bilangan bulat dari 1 hingga 6, dan kemudian tiga dadu dilempar. Jika tepat k dadu menunjukkan nomor penjudi, maka pembayaran adalah 1:1 untuk k=1, 2:1 untuk k=2, 3:1 untuk k=3; taruhan kalah jika k=0. Seperti pada dadu poker, asumsi matematis dasar kita adalah bahwa dadu adil, dan oleh karena itu vektor hasil (X1,X2,X3) terdistribusi seragam pada ruang sampel {1,2,3,4,5,6}^3.

Misalkan N menyatakan jumlah dadu yang menunjukkan nomor penjudi. Maka N memiliki distribusi binomial dengan parameter n=3 dan p=1/6: P(N=k)=C(3,k)(1/6)^k(5/6)^(3-k) untuk k=0,1,2,3.

Misalkan W menyatakan kemenangan bersih untuk taruhan unit. Maka W = -1 jika N=0, W = 1 jika N=1, W = 2 jika N=2, W = 3 jika N=3. Fungsi kepadatan probabilitas W diberikan oleh P(W=-1)=125/216≈0,57870, P(W=1)=75/216≈0,34722, P(W=2)=15/216≈0,06944, P(W=3)=1/216≈0,00463. Ekspektasi E(W) = (-1)*(125/216) + 1*(75/216) + 2*(15/216) + 3*(1/216) = -125+75+30+3/216 = -17/216 ≈ -0,07870. Jadi permainan ini tidak menguntungkan bagi pemain, tetapi sebagai permainan karnaval, chuck-a-luck tidak terlalu buruk.

Jalankan eksperimen chuck-a-luck sebanyak 1000 kali dan bandingkan fungsi kepadatan empiris W dengan fungsi kepadatan probabilitas sebenarnya. Bandingkan juga rata-rata empiris dan standar deviasi dengan rata-rata dan standar deviasi sebenarnya. Andaikan Anda bertaruh $1 pada setiap dari 1000 permainan. Berapa kemenangan bersih Anda?

High-Low

Dalam permainan high-low, sepasang dadu adil dilempar. Hasilnya adalah: High jika jumlahnya 8, 9, 10, 11, atau 12; Low jika jumlahnya 2, 3, 4, 5, atau 6; Seven jika jumlahnya 7. Seorang pemain dapat bertaruh pada salah satu dari tiga hasil. Pembayaran untuk taruhan high atau low adalah 1:1. Pembayaran untuk taruhan seven adalah 4:1.

Biarkan Y menyatakan jumlah skor dua dadu, dan biarkan H, L, S masing-masing menyatakan kejadian high, low, seven. Maka P(H)=15/36≈0,41667, P(L)=15/36≈0,41667, P(S)=6/36=1/6≈0,16667.

Misalkan W menyatakan kemenangan bersih untuk taruhan unit. Temukan fungsi kepadatan probabilitas, nilai harapan, dan varians untuk masing-masing dari tiga taruhan: Taruhan high: P(W=-1)=P(L∪S)=21/36, P(W=1)=15/36, E(W)= -1/6 ≈ -0,16667, Var(W)= 35/36 ≈ 0,97222. Taruhan low: sama dengan high. Taruhan seven: P(W=-1)=30/36, P(W=4)=6/36, E(W)= -1/6 ≈ -0,16667, Var(W)= 175/36 ≈ 4,86111. Jadi semua taruhan memiliki kerugian yang diharapkan sama, tetapi taruhan seven memiliki varians yang lebih besar.

Jalankan eksperimen high-low sebanyak 1000 kali dengan setiap jenis taruhan. Bandingkan kepadatan empiris, rata-rata, dan standar deviasi W dengan kepadatan, rata-rata, dan standar deviasi sebenarnya.